Question

【題目】小紅在數學課上學習了角的相關知識后，立即對角產生了濃厚的興趣.她查閱書籍發現兩個有趣的概念，三角形中相鄰兩條邊的夾角叫做三角形的內角；三角形一條邊的延長線與其鄰邊的夾角，叫做三角形的外角.小紅還了解到三角形的內角和是180°，同時她很容易地證明了三角形外角的性質，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.于是，愛思考的小紅在想，三角形的內角是否也具有類似的性質呢？三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？

①嘗試探究：

（1）如圖1，∠1與∠2分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A與∠1+∠2之間存在怎樣的數量關系？為什么？

解：數量關系：∠l+∠2=180°+∠A

理由：∵∠1與∠2分別為△ABC的兩個外角

∴∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠4

∴∠1+∠2=360°-(∠3+∠4)

∵三角形的內角和為180°

∴∠3+∠4=180°-∠A

∴∠l+∠2=360°-(180°-∠A)=180°+∠A

小紅順利地完成了探究過程，并想考一考同學們，請同學們利用上述結論完成下面的問題.

②初步應用：

（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1=130°，則∠2-∠C=________；

（3）如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，則∠P與∠A有何數量關系？________________.（直接填答案）

③拓展提升：

（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，則∠P與∠1、∠2有何數量關系？為什么？（若需要利用上面的結論說明，可直接使用，不需說明理由.）

Answer 1

【答案】（2）50°（3）∠A+2∠P=180°（4）解：數量關系：∠1+∠2+2∠P=360°，理由見解析.

【解析】試題分析：（2）根據（1）即可得出結論；

（3）由（1）知：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，再由三角形內角和定理和角平分線的定義即可得出結論；

（4）延長線段BA、線段CD交于點Q，由（3）可知：∠Q+2∠P=180°．由（1）可知：∠1+∠2=180°+∠Q，整理即可得出結論．

試題解析：解：（2）由（1）知：∠l+∠2=180°+∠C，∴∠2－∠C=180°－∠1=180°－130°=50°；

（3）由（1）知：∠DBC+∠ECB=180°+∠A．∵∠P=180°－(∠PBC+∠PCB)=180°－（∠DBC+∠ECB）=180°－（180°+∠A）=90°－∠A，∴∠A+2∠P=180°；

（4）解：數量關系：∠1+∠2+2∠P=360°．理由如下：

如圖，延長線段BA、線段CD交于點Q，由（3）可知，∠Q+2∠P=180°．

由（1）可知，∠1+∠2=180°+∠Q，∴(∠1+∠2-180°)+2∠P=180°，∴∠1+∠2+2∠P=360°．