Question

（2013•太倉市二模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過點A（10，0）和B（2，4），點P從原點出發向點A作勻速運動，速度為每秒1個單位，過點P作x軸的垂線，與直線OB交于點E，延長PE到D，使DE=PE，以PD為斜邊在直線PD的右側作等腰Rt△PCD．
（1）a=

-

1

4

；b=

5

2

；
（2）若點C恰好落在拋物線上，求點P運動的時間t；
（3）若在點P運動的同時，線段OA上另一個點Q從點A出發向原點作勻速運動，速度為每秒2個單位（當點Q到達原點時運動即結束）．過點Q做x軸的垂線，與直線AB交于點F延長QF到點M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側作等腰Rt△QMN．求當兩個等腰直角三角形恰好有一條邊落在同一直線上時對應時刻t的值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式得出a，b的值即可；
（2）根據等腰直角三角形的性質得出C點坐標，進而代入二次函數解析式求出t的值；
（3）分三種情況討論，①如圖1，PC與MN共線，②如圖2，CD與NQ共線，③如圖3，QM與PD重合時，分別求出即可．

解答：解：（1）將點A（10，0）和B（2，4），代入解析式得：

100a+10b=0 4a+2b=4

，
解得：

a=- 1 4 b= 5 2

，
∴a=-

1

4

，b=

5

2

，
故答案為：-

1

4

，

5

2

；

（2）∵P（t，0），直線OB表達式為：y=2x，
∴E（t，2t），
∵DE=PE，以PD為斜邊在直線PD的右側作等腰Rt△PCD，
∴PD=4t，EC=2t，
∴C點坐標為：（3t，2t），
代入拋物線解析式：y=-

1

4

x²+

5

2

x得：
解得：t=

22

9

；

（3）分三種情況討論：
①如圖1，PC與MN共線，∵直線OB表達式為：y=2x，
可得：AQ=2t時，QF=t，QM=2t，
可得△PQN為等腰直角三角形，
∴PQ=QM=2t，
∴t+2t+2t=10，
解得：t=2；
②如圖2，CD與NQ共線，
由以上可得出：PD=2PE=4t，
可得△PDQ為等腰直角三角形，
∴PQ=QM=2t，
∴t+4t+2t=10，
解得：t=

10

7

；
③如圖3，QM與PD重合時：
OP=t，AP=2t，
則t+2t=10，
解得：t=

10

3

．
綜上所述：當兩個等腰直角三角形恰好有一條邊落在同一直線上時對應時刻t的值為2或

10

7

或

10

3

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及等腰直角三角形的性質，利用分類討論以及數形結合得出是解題關鍵．