Question

已知拋物線y=2x²-4mx+m²
（1）求證：當m為非零實數時，拋物線與x軸總有兩個不同的交點；
（2）若拋物線與x軸的交點為A、B，頂點為C，且S_△ABC=4

2

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）求得二次函數的判別式＞0時，m的取值即解得．
（2）設點A（x₁，0），B（x₂，0）利用根與系數的關系求得AB的距離，由頂點公式求得點C的縱坐標，利用三角形的面積公式，即能求得m值．

解答：（1）證明：已知拋物線y=2x²-4mx+m²，
∴其根的判別式△=16m²-8m²=8m²，
∴當m≠0時，8m²總＞0，
∴拋物線與x軸總有兩個不同的交點．
（2）AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

①，
由根與系數的關系得：
x₁+x₂=2m，x₁x₂=

m2

2

②，
頂點C的縱坐標=

4×2m2-16m2

4×2

=-m²，
S_△ABC=

1

2

AB(-m2)=4

2

③，
由①②③解得：
m=2．

點評：本題考查了二次函數數的綜合運用，涉及到了二次函數的判別式，根與系數的關系，是一道綜合性很好的目題．