Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B；拋物線（a≠0）過A，B兩點，與x軸交于另一點C(-1，0)，拋物線的頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AB上方的拋物線上有一動點E，求出點E到直線AB的距離的最大值；

（3）如圖2，直線AB與拋物線的對稱軸相交于點F，點P在坐標軸上，且點P到直線 BD，DF的距離相等，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E到直線AB的距離的最大值為；（3）點P的坐標為：（0,1），（，0），（0,），（7，0）．

【解析】

（1）由一次函數求出點A，B的坐標，再將A，C坐標代入中即可解答；

（2）通過證明△ENM∽△AOB，得到EN=，設E（m，），M（m，），表達出EM，再由二次函數的性質求出最大值；
（3）分當點P在∠BDF平分線上、外角平分線上兩種情況，分別求解即可．

解：（1）在中，當x=0時，y=；當y=0時，x=3，

即A(3，0)，B(0，)，

將A(3，0)，C(－1，0)代入得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為：．

（2）過點E作EM⊥x軸交AB于M，過E作EN⊥AB于N，

點E到AB的距離為EN，

∵EM∥y軸，

∴∠EMN=∠OBA，

又∵∠ENM=∠AOB，

∴△ENM∽△AOB，

∴,

在Rt△AOB中，OA=3，OB=，

由勾股定理得：AB=，

∴，

即EN=，

設E（m，），M（m，），

則EM=－（）=，

∴EN=

=

=，

∴當m=時，E到直線AB的距離的最大值為．

（3）∵點P到直線BD，DF的距離相等，

∴點P在∠BDF或∠BDF鄰補角的平分線上，如圖所示，

由，則 D點坐標為（1,3），

∵B（0，），

∴BD=，

∵DP平分∠BDF，

∴∠BDP=∠PDF，

∵DF∥y軸，

∴∠BPD=∠PDF，

∴∠BPD=∠BDP,

∴BD=BP，

∴P(0,1),

設直線PD的解析式為：y=kx+n，

∴n=1，k+n=3，

即直線PD的解析式為：y=2x+1，

當y=0時，x=，

∴當P在∠BDF的角平分線上時，坐標為（0,1）或（，0）；

同理可得：當P在∠BDF鄰補角的平分線上時，坐標為：（0,）或（7，0），

綜上所述，點P的坐標為：（0,1），（，0），（0,），（7，0）．