Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，長方形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標為（8，4），將該長方形沿OB翻折，點A的對應點為點D，OD與BC交于點E．

（1）求點E的坐標；
（2）點M是OB上任意一點，點N是OA上任意一點，是否存在點M、N，使得AM+MN最小？若存在，求出其最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（3，4）；（2）存在，

【解析】

（1）根據翻折特點可得∠DOB=∠AOB，由平行性質可得∠OBC=∠DOB，故EO=EB，設OE=x，則DE=8-x，根據勾股定理得，DB2+DE2=BE2，即16+（8-x）2=x2，可進一步求出E的坐標；

（2）過點D作OA的垂線交OB于M，交OA于N，此時的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值，結合（1），根據面積有DE×BD=BE×DG，故DG=，得GN=OC=4，可求出DN=DG+GN．

（1）∵將該長方形沿OB翻折，點A的對應點為點D，OD與BC交于點E．
∴∠DOB=∠AOB，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠DOB，
∴EO=EB，
∵長方形OABC的頂點A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標為（8，4），
設OE=x，則DE=8-x，
在Rt△BDE中，BD=4，根據勾股定理得，DB2+DE2=BE2，
∴16+（8-x）2=x2，
∴x=5，
∴BE=5，
∴CE=3，
∴E（3，4）；
（2）如圖，

過點D作OA的垂線交OB于M，交OA于N，此時的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值，
由（1）得，DE=3，BE=5，BD=4，
∴根據面積有DE×BD=BE×DG，
∴DG=由題意有，GN=OC=4，
∴DN=DG+GN=

即：AM+MN的最小值是．