Question

【題目】如圖，拋物線經過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；
（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三點在拋物線上，

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣2x﹣ ；

（2）

解：∵拋物線的解析式為：y= x2﹣2x﹣ ，

∴其對稱軸為直線x=﹣ =﹣ =2，

連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣ ），

∴設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴ ，

解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣ ，

當x=2時，y=1﹣ =﹣ ，

∴P（2，﹣ ）；

（3）

解：存在．

如圖2所示，

①當點N在x軸下方時，

∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，﹣ ），

∴N1（4，﹣ ）；

②當點N在x軸上方時，

如圖，過點N2作N2D⊥x軸于點D，

在△AN2D與△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC= ，即N2點的縱坐標為 ．

∴ x2﹣2x﹣ = ，

解得x=2+ 或x=2﹣ ，

∴N2（2+ ， ），N3（2﹣ ， ）．

綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，﹣ ），（2+ ， ）或（2﹣ ， ）．

【解析】本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數與二次函數的解析式、平行四邊的判定與性質、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三點代入求出a、b、c的值即可；（2）因為點A關于對稱軸對稱的點B的坐標為（5，0），連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標即可；（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論．
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．