Question

如圖所示，在直角坐標系xOy中，一次函數y₁=k₁x+b（k≠0）的圖象與反比例函數（x＞0）的圖象交于A（1，4），B（3，m）兩點．

（1）試確定上述反比例函數和一次函數的表達式；
（2）在第一象限內，x取何值時，一次函數的函數值大于反比例函數的函數值；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

（1）y₁=﹣x+ （2）x取1＜x＜3 （3）

試題分析：（1）把A（1，4）代入數即可求出反比例函數的解析式，把B的坐標代入即可求出B的坐標，把A、B的坐標代入一次函數的解析式，得出方程組，求出方程組的解，即可得出一次函數的解析式；
（2）根據圖象和A、B的坐標即可得出答案；
（3）過A作AE⊥ON于E，過B作BF⊥OM于F，求出M、N的坐標，根據S_△AOB=S_△NOM﹣S_△AON﹣S_△BOM代入即可求出△AOB的面積．
解：（1）把A（1，4）代入數（x＞0）得：4=，
解得：k₂=4，
即反比例函數的解析式是：y₂=，
把B（3，m）代入上式得：m=，
即B（3，），
把A、B的坐標代入y₁=k₁x+b（k≠0）得：
，
解得：k=﹣，b=，
∴一次函數的解析式是：y₁=﹣x+；
（2）從圖象可知：在第一象限內，x取1＜x＜3時，一次函數的函數值大于反比例函數的函數值；
（3）過A作AE⊥ON于E，過B作BF⊥OM于F，

∵A（1，4），B（3，），
∴AE=1，BF=，
∵設直線AB（y₁=﹣x+）交y軸于N，交x軸于M，
當x=0時，y=，
當y=0時，x=4，
即ON=，OM=4，
∴S_△AOB=S_△NOM﹣S_△AON﹣S_△BOM
=××4﹣××1﹣×4×
=．
點評：本題考查了三角形的面積，一次函數與反比例函數的交點問題，用待定系數法求出一次函數與反比例函數的解析式等知識點，本題具有一定的代表性，是一道比較好的題目．