Question

如圖，將一矩形OABC放在直角坐標系中，O為坐標原點．點A在y軸正半軸上．點E是邊AB上的一個動點（不與點A、B重合），過點E的反比例函數的圖象與邊BC交于點F．

（1）若△OAE、△OCF的面積分別為S₁、S₂．且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）若OA=2.0C=4．問當點E運動到什么位置時．四邊形OAEF的面積最大．其最大值為多少？

Answer 1

（1）2  （2）當點E運動到AB的中點時，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5．

試題分析：（1）設E（x₁，），F（x₂，），x₁＞0，x₂＞0，根據三角形的面積公式得到S₁=S₂=k，利用S₁+S₂=2即可求出k；
（2）設，，利用S_{四邊形OAEF}=S_矩形OABC﹣S_△BEF﹣S_△OCF=﹣+5，根據二次函數的最值問題即可得到當k=4時，四邊形OAEF的面積有最大值，S_{四邊形OAEF}=5，此時AE=2．
解：（1）∵點E、F在函數y=（x＞0）的圖象上，
∴設E（x₁，），F（x₂，），x₁＞0，x₂＞0，
∴S₁=，S₂=，
∵S₁+S₂=2，
∴=2，
∴k=2；
（2）∵四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，
設，，
∴BE=4﹣，BF=2﹣，
∴S_△BEF=﹣k+4，
∵S_△OCF=，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S_{四邊形OAEF}=S_矩形OABC﹣S_△BEF﹣S_△OCF=+4，
=﹣+5，
∴當k=4時，S_{四邊形OAEF}=5，
∴AE=2．
當點E運動到AB的中點時，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5．
點評：本題考查了反比例函數k的幾何含義和點在雙曲線上，點的橫縱坐標滿足反比例的解析式．也考查了二次的頂點式及其最值問題．