Question

【題目】在△ABF中，C為AF上一點且AB=AC．

（1）尺規作圖：作出以AB為直徑的⊙O，⊙O分別交AC、BC于點D、E，在圖上標出D、E，在圖上標出D、E（保留作圖痕跡，不寫作法）．

（2）若∠BAF=2∠CBF，求證：直線BF是⊙O的切線；

（3）在（2）中，若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析；（3）BC=2，BF=．

【解析】試題分析：（1）作AB的垂直平分線交AB于O，以O為圓心，OA為半徑作圓，⊙O即為所求；

（2）根據圓周角定理得到∠AEB=90°，根據等腰三角形的性質得到∠1=∠CAB，等量代換得到∠1=∠CBF，求出∠CBF+∠2=90°，然后，根據切線的判定即可得到結論；

（3）根據已知條件得到sin∠1=，求出BE=ABsin∠1=，根據勾股定理得到BC=2BE=2，由勾股定理得AE= =2，于是得到sin∠2=，cos∠2=，根據三角函數的定義得到AG=3，根據相似三角形的性質即可得到結論．

試題解析：（1）如圖1，所示⊙O為所求作的圓；

（2）連結AE，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°，

∵AB=AC，∴∠1=∠CAB，

∵∠BAF=2∠CBF，∴∠CBF=CAB，∴∠1=∠CBF，∴∠CBF+∠2=90°，

∵即∠ABF=90°，∵AB是⊙O的直徑，

∴直線BF是⊙O的切線；

（3）過點C作CG⊥AB于點G，

∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，

∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=ABsin∠1=，

∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= =2，∴sin∠2=，cos∠2=，

在Rt△CBG中，GC=BC sin∠2=2×=4，GB=BCcos∠2=2，∴AG=3，

∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴ ，∴BF==．