Question

【題目】已知二次函數y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m是常數）．

（1）求證：不論m為何值，該函數的圖像的頂點都在函數y＝x－1的圖像上．

（2）若該函數的圖像與函數y＝x＋b的圖像有兩個交點，則b的取值范圍為（ ）

A．b＞0 B．b＞－1 C．b＞－ D．b＞－2

（3）該函數圖像與坐標軸交點的個數隨m的值變化而變化，直接寫出交點個數及對應的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）C；（3）①當m＞1時，該函數圖像與坐標軸交點的個數為1；②m＝1，，時，該函數圖像與坐標軸交點的個數為2；③當m＜，＜m＜，＜m＜1時，該函數圖像與坐標軸交點的個數為3．

【解析】

（1）首先求出拋物線的頂點坐標，然后代入直線解析式進行判斷即可；

（2）聯立方程組，根據方程組有兩組解，利用根的判別式進行判斷即可；

（3）分別由當拋物線的頂點在直線y=x-1與x軸的交點上方時，拋物線與坐標軸有一個交點，拋物線頂點在x軸上以及拋物線經過原點時，拋物線與坐標軸有2個交點分別列式求出m的值即可確定答案．

（1）證明：∵y＝x2－2mx＋m2＋m－1

＝(x－m)2＋m－1

∴該函數的圖像的頂點坐標為（m，m－1），

將x＝m代入y＝x－1得，y＝m－1，

∴不論m為何值，該函數的圖像的頂點都在函數y＝x－1的圖像上．

（2）聯立方程組

∴x2－2mx＋m2＋m－1=x＋b

整理，得：x2－（2m+1）x＋m2＋m－1-b=0

∵函數y＝x2－2mx＋m2＋m－1的圖像與函數y＝x＋b的圖像有兩個交點，

∴△=

解得，b＞－

故選：C．

（3）∵該函數的圖像的頂點坐標為（m，m－1），

①當m-1＞0，即m＞1時，該函數圖像與y軸有一個交點，

∴當m＞1時，該函數圖像與坐標軸交點的個數為1；

②當函數的圖像的頂點在x軸以及經過原點時，

由于函數的圖像的頂點在函數y＝x－1的圖像上

∴當y=0時，x=1，即m=；

當圖象經過原點時，即m2＋m－1=0，

解得，，

∴當m＝1，，時，該函數圖像與坐標軸交點的個數為2；

③當m＜，＜m＜，＜m＜1時，該函數圖像與坐標軸交點的個數為3．