Question

【題目】如圖，PA與⊙O相切于點A，過點A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O于點B．連接PB，AO，并延長AO交⊙O于點D，與PB的延長線交于點E．

(1)求證：PB是⊙O的切線；

(2)若OC=3，AC=4，求PB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PB＝

【解析】

（1）要證明是圓的切線，須證明過切點的半徑垂直，所以連接OB，證明OB⊥PE即可．

（2）先證明△ACO∽△PAO，然后利用相似三角形的性質求出PO，再利用勾股定理求出PA，即可得到PB的長度.

（1）證明：連接OB，如圖：

∵PA與⊙O相切于點A，

∴∠OAP＝90°

∵PO⊥AB，

∴AC＝BC，

∴PA＝PB，

在△PAO和△PBO中

∴△PAO≌△PBO

∴∠OBP＝∠OAP＝90°

∴PB是⊙O的切線．

（2）在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4

∴AO＝5

在Rt△ACO與Rt△PAO中，

∵∠AOC＝∠POA，∠PAO＝∠ACO＝90°

∴△ACO∽△PAO

∴

∴PO＝，

由勾股定理，得：

，

∴PB＝PA＝.