Question

【題目】如圖，點B、C、D都在⊙O上，過點C作AC∥BD交OB延長線于點A，連接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）求由弦CD、BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6πcm2．

【解析】試題分析：連接BC，OD，OC，設OC與BD交于點M．（1）求出∠COB的度數，求出∠A的度數，根據三角形的內角和定理求出∠OCA的度數，根據切線的判定推出即可；

（2）證明△CDM≌△OBM，從而得到S陰影=S扇形BOC．

試題解析：如圖，連接BC，OD，OC，設OC與BD交于點M．

（1）根據圓周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC，∵OC為半徑，∴AC是⊙O的切線；

（2）由（1）知，AC為⊙O的切線，∴OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD．由垂徑定理可知，MD=MB=BD=3．在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB==6．

在△CDM與△OBM中，∴△CDM≌△OBM（ASA），∴S△CDM=S△OBM

∴陰影部分的面積S陰影=S扇形BOC==6π（cm2）．