Question

【題目】如圖（1），在矩形ABCD中，BC=8，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，且BP=3，點(diǎn)E是線段CD上的一個動點(diǎn)，把△PCE沿PE折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，點(diǎn)F恰好落在AB上．

（1）求CD的長；

（2）若點(diǎn)F剛好落在線段AD的垂直平分線上時，求線段CE的長；

（3）請直接寫出AF的最小值.

Answer 1

【答案】（1）10；（2）y=(或)；（3）.

【解析】

如圖1中，設(shè)CD=x，由折疊可知：,在RT△PBF中，求得AF=x-4，在RT△AFD中，根據(jù)AD2+AF2=DF2，構(gòu)建方程即可解決問題．

如下圖2所示，MN是線段AD的中垂線，作FG⊥CD于H．設(shè)CE=y，根據(jù)RT△PNF，求得FN=, CG=FN,GE=-y，在RT△GEF中，根據(jù)FG2+GE2=EF2，構(gòu)建方程即可解決問題．

要使AF最小，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、F、P在同一直線上.

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，如圖

設(shè)CD=x，

由折疊可知：DF=DC=x, PC=PF=5,

在RT△PBF中，

BF=

則 AF=x-4，

在RT△AFD中，∠A=90°

由AD2+AF2=DF2

得

解得：x=10,即CD=10.

（2）當(dāng)點(diǎn)F落在AD得中垂線MN上時，

作FG⊥DC于點(diǎn)G，則FG=4，

在RT△PNF中，

FN=

設(shè)CE=y，∵CG=FN=，

∴GE=-y，

在RT△GEF中，由FG2+GE2=EF2

得：42+（-y）2=y2

解之得：y=(或)

要使AF最小，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、F、P在同一直線上