Question

【題目】如圖，已知直線y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D．

（1）點A的坐標為　 　，點B的坐標為　 　．

（2）①求拋物線的解析式；

②直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，在x軸上是否存在點M，使得ME+MB最小，求出點M的坐標．

（3）點P從點D出發，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形？直接寫出所有符合條件的t值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣3，0），（0，3）；（2）①y＝﹣x2﹣2x+3；②M（﹣，0）；（3）當t為3、4±、4秒時，以P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形

【解析】

（1）令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝﹣3，即可求解；

（2）①B的坐標為：（0，3），故c＝3，將點A的坐標代入拋物線表達式并解得：b＝﹣2，即可求解；

②函數的對稱軸為：x＝﹣1，點E（﹣1，2），點B（0，3），作點B關于x軸的對稱點B′（0，﹣3），連接EB′交x軸于點M，則點M為所求，即可求解；

（3）分PC＝PB、BC＝PC、BC＝PB，三種情況，分別求解即可．

解：（1）y＝x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝﹣3，

故點A、B的坐標分別為：（﹣3，0）、（0，3），

故答案為：（﹣3，0），（0，3）；

（2）①B的坐標為：（0，3），故c＝3，

將點A的坐標代入拋物線表達式y＝﹣x2+bx+3中得：-(-3)2-3b+3=0

解得：b＝﹣2，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；

②函數的對稱軸為：x＝﹣1

將x=-1代入解析式y＝x+3得y=-1+3=2

∴點E（﹣1，2），點B（0，3），

作點B關于x軸的對稱點B′（0，﹣3），連接EB′交x軸于點M，則點M為所求，

設直線B′E的表達式為y=mx+n

將B′（0，﹣3）和E（﹣1，2）代入得：

解得

則直線B′E的表達式為：y＝﹣5x﹣3，

當y＝0時，x＝﹣，故點M（﹣，0）；

（3）令y＝﹣x2﹣2x+3中y＝0，則﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）（x+3）＝0，

解得：x＝1或x＝﹣3，

∴C（1，0）．

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴D（﹣1，4），P（﹣1，4﹣t）．

∵B（0，3），C（1，0），

∴PC2＝（﹣1﹣1）2+（4﹣t）2＝t2﹣8t+20，PB2＝（﹣1）2+（4﹣t﹣3）2＝t2﹣2t+2，BC2＝12+32＝10．

①當PC＝PB時，

即t2﹣8t+20＝t2﹣2t+2解得：t＝3；

②當BC＝PC時，

即100= t2﹣8t+20解得：t＝4±；

③當BC＝PB時，

即100= t2﹣2t+2解得：t＝4或﹣2（舍去負值）

綜上可知：當t為3、4±、4秒時，以P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形．