Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A(a，0)，B(0，b)，且a，b滿足a2－2ab＋b2＋(b－4)2＝0，點C為線段AB上一點，連接OC．

(1)直接寫出a＝____，b＝_____；

(2)如圖1，P為OC上一點，連接PA，PB．若PA＝B0，∠BPC＝30°．求點P的縱坐標；

(3)如圖2，在(2)的條件下，點M是AB上一動點，以OM為邊在OM的右側作等邊△OMN，連接CN．若OC＝t，求ON＋CN的最小值(結果用含t的式子表示)．

Answer 1

【答案】(1)a＝4，b＝4；(2)點P的縱坐標的為2;(3)ON＋CN的最小值為2t．

【解析】

（1）根據完全平方的非負性即可求解，

（2）分別過A，B作OC的垂線，垂足分別為D，E，由PA＝BO＝AO，易證△BDO≌△OEA，得BD＝EO＝PE，由∠BPC＝30°，知PB＝2BD＝2EO，得PB＝PO，過P作PF⊥OB，可求得OF＝OB＝2，即點P的縱坐標的為2．

(3)如圖，以OA為邊在x軸下方作等邊△OAG，連接OG，AG，易證△OMA≌△ONG，

于是∠OGN＝∠OAM＝45°，即點N在y軸與OG夾角為45°的直線GN上運動，作點C關于GN的對稱點H，連接OH，則ON＋CN的最小值即為OH的長再求出OH即可.

(1) ∵a2－2ab＋b2＋(b－4)2＝(a-b)2＋(b－4)2=0,

∴a＝b＝4；

(2)分別過A，B作OC的垂線，垂足分別為D，E，

由PA＝BO＝AO，易證△BDO≌△OEA，

∴BD＝EO＝PE，

∵∠BPC＝30°，

∴PB＝2BD＝2EO，

∴PB＝PO，過P作PF⊥OB，

∴OF＝OB＝2，即點P的縱坐標的為2．

(3)如圖，以OA為邊在x軸下方作等邊△OAG，連接OG，AG，易證△OMA≌△ONG，

∴∠OGN＝∠OAM＝45°，

即點N在y軸與OG夾角為45°的直線GN上運動，作點C關于GN的對稱點H，連接OH，則ON＋CN的最小值即為OH的長．

由(2)PB＝PO，∠BPC＝30°，

∴∠ACO＝60°，

在四邊形ACOG中，∠COG＝360°－60°－60°－45°－60°＝135°，

∴OC∥NG，易證∠OCH＝90°

，∴∠H＝∠ACH＝30°，

∴OH＝20C＝2t．即ON＋CN的最小值為2t．