Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形ABCD內接于點O，點E是 上的一動點（不與A、B重合），點F是 上的一點，連接OE、OF，分別與AB、BC交于點G，H，且∠EOF=90°，有以下結論： ① = ；
②△OGH是等腰三角形；
③四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化；
④△GBH周長的最小值為4+ ．
其中正確的是（把你認為正確結論的序號都填上）．

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：①如圖所示，

∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE與△COF中，

，

∴△BOE≌△COF，

∴BE=CF，

∴ = ，①正確；②∵BE=CF，

∴△BOG≌△COH；

∵∠BOG=∠COH，∠COH+∠OBF=90°，

∴∠GOH=90°，OG=OH，

∴△OGH是等腰直角三角形，②正確．③如圖所示，

∵△HOM≌△GON，

∴四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積，③錯誤；④∵△BOG≌△COH，

∴BG=CH，

∴BG+BH=BC=4，

設BG=x，則BH=4﹣x，

則GH= = ，

∴其最小值為4+2 ，D錯誤．

所以答案是：①②．