Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OEFG的頂點E的坐標為(4，0)，頂點G的坐標為(0，2)，將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉，使點F落在y軸的點N處，得到矩形OMNP，OM與GF交于點A．

(1)判斷△OGA和△OMN是否相似，并說明理由；
(2)求圖象經過點A的反比例函數的解析式；
(3)設(2)中的反比例函數圖象交EF于點B，求直線AB的解析式．

Answer 1

（1）△OGA∽△OMN（2）(3)

解：（1）△OGA∽△OMN……(1分)
理由……(3分)
（2）由（1）得,
∴，解得AG=1。
設反比例函數為，把A（1，2）代入，得，
∴過點A的反比例函數的解析式為。……(3分)
（3）∵點B的橫坐標為4，把代入中得，故B
設直線AB的解析式為，把A（1，2）、B代入，得
，解得
∴直線AB的解析式為。……(3分)
（1）根據兩個角對應相等，即可證明兩個三角形相似；
（2）要求反比例函數的解析式，則需求得點A的坐標，即要求得AG的長，根據旋轉的兩個圖形全等的性質以及相似三角形的對應邊的比相等可以求解；
（3）要求直線AB的解析式，主要應求得點B的坐標．根據點B的橫坐標是4和（2）中求得的反比例函數的解析式即可求得．再根據待定系數法進行求解．