Question

【題目】已知：點E、點G分別在直線AB、直線CD上，點F在兩直線外，連接EF、FG

（1）如圖1，AB∥CD，求證：∠AEF+∠FGC=∠EFG；

（2）若直線AB與直線CD不平行，連接EG，且EG同時平分∠BEF和∠FGD．

①如圖2，請探究∠AEF、∠FGC、∠EFG之間的數量關系？并說明理由；

②如圖3，∠AEF比∠FGC的3倍多10°，∠FGC是∠EFG的，則∠EFG=______°（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①2∠EFG=∠AEF+∠FGC；②25.

【解析】

（1）過F作FQ∥AB，利用平行線的性質，即可得到∠AEF+∠FGC=∠EFQ+∠GFQ=∠EFG；

（2）①延長AB，CD，交于點P，依據∠FEP=180°-∠AEF，∠FGP=180°-∠FGC，即可得到∠FEP+∠FGP=360°-（∠AEF+∠FGC），再根據四邊形內角和，即可得到四邊形EFGP中，∠F+∠P=360°-（∠FEP+∠FGP）=∠AEF+∠FGC，進而得出結論；

②根據2∠EFG=∠AEF+∠FGC，∠AEF比∠FGC的3倍多10°，∠FGC是∠EFG的，整理即可得到答案．

（1）如圖1，過F作FQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠AEF=∠QFE，∠FGC=∠GFQ，

∴∠AEF+∠FGC=∠EFQ+∠GFQ=∠EFG；

（2）①如圖2，延長AB，CD，交于點P，

∵EG同時平分∠BEF和∠FGD，

∴∠FEG=∠PEG，∠FGE=∠PGE，

∴∠F=∠P，

∵∠FEP=180°﹣∠AEF，∠FGP=180°﹣∠FGC，

∴∠FEP+∠FGP=360°﹣（∠AEF+∠FGC），

∵四邊形EFGP中，∠F+∠P=360°﹣（∠FEP+∠FGP）=360°﹣[360°﹣（∠AEF+∠FGC）]=∠AEF+∠FGC，

即2∠EFG=∠AEF+∠FGC；

②由①可知：2∠EFG=∠AEF+∠FGC=3∠FGC+10°+∠FGC=4∠FGC+10°，

又∵∠FGC=∠EFG

∴2∠EFG=∠EFG+10°，

∴∠EFG=25°.

故答案為：25.