Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC﹣CB向終點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)P在AC上的速度為每秒2個(gè)單位長度，在CB上的速度為每秒1個(gè)單位長度，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P也隨之停止．過點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M，連接QM，以PM、QM為鄰邊作PMQN，設(shè)PMQN與矩形ABCD重疊部分圖形的周長為d（長度單位），點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（秒）（t＞0）

（1）求AC的長
（2）用含t的代數(shù)式表示線段CP的長．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）經(jīng)過點(diǎn)N的直線將矩形ABCD的面積平分，若該直線同時(shí)將PMQN的面積分成1：3的兩部分，直接寫出此時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC=AD=4，∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC= = =5，

∴AC的長為5．

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上，CP=5﹣2t，

當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上，CP=t﹣ ．

（3）解：如圖1中，當(dāng)N在BC上時(shí)．

∵AP=2t，AQ=t，

∴AQ=PQ，

∵PM⊥AD，

∴∠AMP=90°，

∴QM= AP=t，

由△APM∽△ACD，可得 = ，

∴ = ，

∴PM= t，

由△CNQ∽△CBA，可得 = ，

∴ = ，

解得t= ，

當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，如圖2中，重疊部分是四邊形PMQN，

d=2（t+ ）= t，

當(dāng) ＜t≤ ，如圖3中，重疊部分是五邊形EFPMQ．

d= t﹣（1+ ）（ ﹣3）+ （ t﹣3）=2t﹣4．

（4）解：∵經(jīng)過點(diǎn)N的直線將矩形ABCD的面積平分，

∴這條直線經(jīng)過矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)O．

①如圖4中，當(dāng)直線ON經(jīng)過PM的中點(diǎn)時(shí)，直線ON將PMQN的面積分成1：3的兩部分，

此時(shí)：由OQ：OP=NQ：PE=2：1，可得（ ﹣t）：（2t﹣ ）=2：1，解得t= ．

②如圖5中，當(dāng)直線ON經(jīng)過QM的中點(diǎn)時(shí)，直線ON將PMQN的面積分成1：3的兩部分，

此時(shí)：由OQ：OP=NQ：PE=1：2，可得（ ﹣t）：（2t﹣ ）=1：2，解得t= ．

③如圖6中，當(dāng)點(diǎn)P在BC上，PM經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，直線ON將PMQN的面積分成1：3的兩部分，易知t= s．

綜上所述，滿足條件的t的值為t= s或 s或 s時(shí)．

【解析】（1）利用勾股定理可解決；（2）須分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上，CP=5﹣2t，或點(diǎn)P在線段CB上，CP=t-；（3）先求分類的分界點(diǎn)：當(dāng)N在BC上時(shí)求出t=,然后分類討論：0＜t,重疊的為四邊形，當(dāng)<t<時(shí)，重疊部分為五邊形，分別用t的代數(shù)式表示d；（4）平分矩形面積的這條直線經(jīng)過矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)O，分類討論，利用相似三角形的性質(zhì)可求出t值．
．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．