Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖①，若點D是拋物線上一動點，設點D的橫坐標為m（0＜m＜3），連接CD，BD，BC，AC，當△BCD的面積等于△AOC面積的2倍時，求m的值；

(3)若點N為拋物線對稱軸上一點，請在圖②中探究拋物線上是否存在點M，使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）1或2（3）存在；M1（2，2）M2（-2，）M3（4，）

【解析】

（1）將A、B兩點坐標代入拋物線解析式求出a、b即可得到解析式；

（2）過點D作y軸平行線交BC于點E，用m表示出D、E的坐標，求出DE線段的表達式，再利用面積關系建立方程求解；

（3）根據平行四邊形對角線互相平分，可知對角線上的兩個點的中點相同，可用中點坐標公式建立方程求解，設N(1,n)，M(x,y)，分3種情況討論即可.

（1）把A（-1，0），B（3，0）代入中，得：

解得：

∴拋物線解析式為

（2）過點D作y軸平行線交BC于點E

把代入中，得：，

∴C點坐標是（0，2），又B（3,0）

∴直線BC的解析式為

∵

∴

∴

由得：

∴

整理得：

解得 ，

∵0＜m＜3

∴m的值為1或2

（3）存在點M使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，

設N(1,n)，M(x,y)，

四邊形CMNB是平行四邊形時，CN、MB為對角線，

∴

∴x=2，代入拋物線得

∴M（-2，）；

四邊形CNBM時平行四邊形時，CB、MN為對角線，

∴，

∴x=2，代入拋物線得

∴M(2,2)；

四邊形CNMB時平行四邊形時，CM、BN為對角線，

∴，

∴x=4，代入拋物線得

∴M（4，）；

綜上所述：存在M1（2，2）M2（-2，）M3（4，）