Question

【題目】小紅和小明在操場做游戲，他們先在地上畫了半徑分別2m和3m的同心圓（如圖），蒙上眼在一定距離外向圈內擲小石子，擲中陰影小紅勝，否則小明勝，未擲入圈內不算，你來當裁判．

（1）你認為游戲公平嗎？為什么？

（2）游戲結束，小明邊走邊想，“反過來，能否用頻率估計概率的方法，來估算某一不規則圖形的面積呢”．請你設計方案，解決這一問題．（要求補充完整圖形，說明設計步驟、原理，寫出估算公式）

Answer 1

【答案】（1）不公平，理由詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）分別計算出陰影部分面積和非陰影部分面積，小紅勝的概率=S陰影÷S總，小明勝的概率=S非陰影÷S總，則比較陰影部分和小圓面積即可知道是否公平；（2）用一正方形將不規則圖形包圍起來，根據用頻率估計概率來設計.

解：（1）不公平，理由：

根據幾何概率的求法：擲中陰影小紅勝的概率就是陰影區域的面積與總面積的比值；小明勝的概率為小圓面積與總面積的比值，

而計算可得大圓面積為9π，小圓面積為4π．則陰影部分面積為5π，

則陰影部分面積比小圓面積大．

則小紅勝的概率大于小明勝的概率，

所以該游戲是不公平的，對小紅有利；

（2）能利用頻率估計概率的實驗方法估算非規則圖形的面積.

設計方案：①設計一個面積為S的正方形將非規則圖形圍起來，如圖：

②蒙上眼在一定距離外向正方形內擲小石子,擲在正方形外不作記錄；

③擲的次數充分大，記錄并統計結果，其中擲入正方形內m次，n次擲非規則圖形內；

④設非規則圖形的面積為S1，用頻率估計概率，即頻率P（擲入非規則圖形內）=≈概率P（擲入非規則圖形內）=,解得S1≈.