Question

【題目】如圖1，兩個全等的△ABC和△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE，其中點B和點D重合，點F在BC上，將△DEF沿射線BC平移，設平移的距離為x，平移后的圖形與△ABC重合部分的面積為y，y關于x的函數圖象如圖2所示（其中0≤x≤m，m＜x≤3，3＜x≤4時，函數的解析式不同）

（1）填空：BC的長為_____；

（2）求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）y=.

【解析】試題分析：

（1）結合圖1、圖2分析可知，當x=4時，y=0，說明此時，點B運動到了點C，兩三角形五重疊部分，從而可得BC=4；

（2）分析圖1、圖2中的信息可知：當DE經過點A時（如圖3），BD=x=3，CD=1，通過證△ADC∽△BAC可求得AC=2=DF；分析圖1、圖2可知當點F與點C重合時（如圖4），BD=x=m=BC-DF=4-2=2；這樣可得：三段函數對應的自變量的取值范圍分別是：①；②；③；按照這三段自變量的取值范圍參照圖5、如6、圖7結合已知條件分析即可求得對應的函數關系式，最好綜合即可.

試題解析：

（1）由圖2得當x=4時，y=0，說明此時△DEF與△ABC無重合部分，

則點D從B到C運動的距離為4，即BC=4；

（2）如圖3，當DE經過點A時，由圖2中的信息可知，此時BD=x=3，CD=BC-BD=1，

∵△ABC≌△DEF．

∴∠EDF=∠BAC．

∵∠ACD=∠BCA

∴△ADC∽△BAC．

∴，即．解得：AC=2，

∴DF=AC=2.

分析圖1、圖2可知當點F與點C重合時（如圖4），BD=x=m=BC-DF=4-2=2.

∴三段函數對應的自變量的取值范圍分別是：①；②；③；

①當0≤x≤2時（如圖5），

設ED、EF與AB分別相交于點M，G，作MN⊥BC，垂足為N．

則∠MNB=90°=∠EFD=∠C．

∵∠MDN=∠EDF．

∴△DMN∽△DEF．

∴，即．

∴MN=2DN．

設DN=n，則MN=2n．

同理△BMN∽△BAC．

∴．即，

∴BN=4n，即x+n=4n．

∴n=x．

∴S△BDM=BDMN=

同理△BGF∽△BAC

∴，即．

∴GF= (x+2)，

∴y=S△BGF﹣S△BDM=（x+2）×（x+2）-=﹣x2+x+1．

②當2＜x≤3時（如圖6），

由①知，S△BDM=x2．

∴y=S△ABC﹣S△BDM=×2×4-x2=﹣x2+4

③當3＜x≤4時（如圖7），

設DE與AB相交于點H，則：△DHC∽△DEF．

∴，即

∴HC=24﹣x．

∴y==x2﹣8x+16，

綜上所述，可得y關于x的函數關系式為：

y=．