Question

【題目】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美結合．研究數軸時，我們發現有許多重要的規律:例如，若數軸上點 A , B 表示的數分別為 a , b ，則 A , B 兩點之間的距離AB=，線段 AB 的中點M 表示的數為．如圖，在數軸上，點A,B,C表示的數分別為-8，2，20．

（1）如果點A和點C都向點B運動，且都用了4秒鐘，那么這兩點的運動速度分別是點A每秒_______個單位長度、點C每秒______個單位長度；

（2）如果點A以每秒1個單位長度沿數軸的正方向運動，點C以每秒3個單位長度沿數軸的負方向運動，設運動時間為t秒，請問當這兩點與點B距離相等的時候，t為何值？

（3）如果點A以每秒1個單位長度沿數軸的正方向運動，點B以每秒3個單位長度沿數軸的正方向運動，且當它們分別到達C點時就停止不動，設運動時間為t秒，線段AB的中點為點P；

①　t為何值時PC=12；

②　t為何值時PC=4．

Answer 1

【答案】（1）2.5；4.5；（2）t＝4或7；（3）①；②20

【解析】

（1）根據數軸上兩點之間的距離公式求出AB的長和BC的長，然后根據速度=路程÷時間即可得出結論；

（2）分點A和點C相遇前AB=BC、相遇時AB=BC和相遇后AB=BC三種情況，分別畫出對應的圖形，然后根據AB=BC列出方程求出t的即可；

（3）①分點B到達點C之前和點B到達點C之后且點A到點C之前兩種情況，分別畫出對應的圖形，利用中點公式、兩點之間的距離公式和PC=12列方程即可求出t的值；

②分點B到達點C之前和點B到達點C之后且點A到點C之前兩種情況，分別畫出對應的圖形，利用中點公式、兩點之間的距離公式和PC=12列方程即可求出t的值；

解：（1）∵點A,B,C表示的數分別為-8，2，20．

∴AB=2－（-8）=10，BC=20－2=18

∵點A和點C都向點B運動，且都用了4秒鐘，

∴點A的速度為每秒：AB÷4=個單位長度，點C的速度為每秒：BC÷4=個單位長度，

故答案為：；．

（2）AC=20－（-8）=28

∴點A和點C相遇時間為AC÷（1＋3）=7s

當點A和點C相遇前，AB=BC時，此時0＜t＜7，如下圖所示

此時點A運動的路程為1×t=t，點C運動的路程為3×t=3t

∴此時AB=10－t，BC=18－3t

∵AB=BC

∴10－t=18－3t

解得：t=4；

當點A和點C相遇時，此時t=7，如下圖所示

此時點A和點C重合

∴AB=BC

即t=7；

當點A和點C相遇后，此時t＞7，如下圖所示

由點C的速度大于點A的速度

∴此時BC＞AB

故此時不存在t，使AB=BC．

綜上所述：當A、C兩點與點B距離相等的時候，t＝4或7．

（3）點B到達點C的時間為：BC÷3=6s，點A到達點C的時間為：AC÷1=28s

①當點B到達點C之前，即0＜t＜6時，如下圖所示

此時點A所表示的數為-8＋t，點B所表示的數為2＋3t

∴線段AB的中點P表示的數為

∴PC=20－（2t－3）=12

解得：t=；

當點B到達點C之后且點A到點C之前，即6≤t＜28時，如下圖所示

此時點A所表示的數為-8＋t，點B所表示的數為20

∴線段AB的中點P表示的數為

∴PC=20－（）=12

解得：t=4，不符合前提條件，故舍去．

綜上所述：t=時，PC=12；

②當點B到達點C之前，即0＜t＜6時，如下圖所示

此時點A所表示的數為-8＋t，點B所表示的數為2＋3t

∴線段AB的中點P表示的數為

∴PC=20－（2t－3）=4

解得：t=，不符合前提條件，故舍去；

當點B到達點C之后且點A到點C之前，即6≤t＜28時，如下圖所示

此時點A所表示的數為-8＋t，點B所表示的數為20

∴線段AB的中點P表示的數為

∴PC=20－（）=4

解得：t=20．

綜上所述：當t=20時，PC=4．