Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，4）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設點P（2，n）在此拋物線上，AP交y軸于點E，連接BE，BP，請判斷△BEP的形狀，并說明理由；

（3）設拋物線的對稱軸交x軸于點D，在線段BC上是否存在點Q，使得△DBQ成為等腰直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+3x+4；（2）△BEP為等腰直角三角形，理由見解析；（3）存在，Q的坐標為或.

【解析】試題分析：（1）待定系數法求二次函數解析式.(2)先求出直線AP解析式，分別求出BE,EP,BP的長度，由勾股定理逆定理△BEP的形狀.(3)先求出二次函數的頂點，分類討論，若BQ=DQ，BQ1⊥DQ1，∠BDQ=45°，過點Q1作Q1M⊥OB，垂足為M，可求得△DBQ是等腰三角形，可以得到Q點，若DQ2=BD，DQ2⊥BD，可以計算出Q點.

試題解析：

解：（1）∵拋物線上A、B、C三點坐標代入拋物線解析式y=ax2+bx+c

得，,

解得,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4．

（2）結論：△BEP為等腰直角三角形，理由如下：

∵點P（2，n）在此拋物線上，

∴n=﹣4+6+4=6，

∴P點坐標為（2，6）．

設直線AP解析式為y=kx+b，

把A、P兩點坐標代入可得,

解得,

∴直線AP的解析式為y=2x+2，

令x=0可得y=2，則E點坐標為（0，2）．

∵B（4，0），P（2，6），

∴BP=2，BE=2，EP=2

∴BE2+EP2=20+20=40=BP2，且BE=EP，

∴△BEP為等腰直角三角形．

（3）存在．

∵y=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+,

∴頂點的坐標為（，），

∵OB=OC=4，∴BC=4，∠ABC=45°．

以下分兩種情況：

①若BQ=DQ，BQ1⊥DQ1，∠BDQ=45°，如圖，過點Q1作Q1M⊥OB，垂足為M，

∵BQ1=DQ1，BD=4﹣=，

∴BM=Q1M=，OM=4﹣=，

∴Q1的坐標為Q1（，）．

②若DQ2=BD=，DQ2⊥BD，易得BC所在的直線解析式為y=﹣x+4，

代入x=，得y=﹣+4=，

∴DQ2=BD=，∴△BDQ2是等腰直角三角形，

所以Q2的坐標為Q2（，），

綜上所述，Q的坐標為Q1（，）或Q2（，）．