Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．

（1）若∠BDA＝115°，則∠BAD＝　 °，∠DEC＝　 °；

（2）若DC＝AB，求證：△ABD≌△DCE；

（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）25，115；（2）詳見解析；（3）當∠BDA＝110°或80°時，△ADE是等腰三角形．

【解析】

（1）根據三角形內角和定理，將已知數值代入即可求出∠BAD，根據平角為180°以及三角形內角和為180°即可算出∠DEC的度數；
（2）由條件可得∠EDC＝∠DAB，∠B＝∠C，DC＝AB，根據ASA即可證明結論；
（3）若△ADE是等腰三角形，分為三種情況：①當AD＝AE時，∠ADE＝∠AED＝40°，根據∠AED＞∠C，得出此時不符合；②當DA＝DE時，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC的度數，根據三角形的內角和定理求出∠BAD，根據三角形的內角和定理求出∠BDA即可；③當EA＝ED時，求出∠DAC，求出∠BAD的度數，根據三角形的內角和定理求出∠BDA的度數．

（1）解：∵∠BDA＝115°，∠B＝40°，

∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；

∵AB＝AC，∠B＝40°，

∴∠C＝40°．

∵∠BDA+∠ADE+∠EDC＝180°，∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，

∴∠EDC＝180°﹣115°﹣40°＝25°．

∵∠EDC+∠C+∠DEC＝180°，

∴∠DEC＝180°﹣25°﹣40°＝115°．

故答案為：25，115．

（2）證明：∵∠EDC+∠EDA+∠ADB＝180°，∠DAB+∠B+∠ADB＝180°，∠B＝∠EDA＝40°，

∴∠EDC＝∠DAB．

∵∠B＝∠C，DC＝AB，

∴△ABD≌△DCE（ASA）；

（3）解：∠BDA＝80° 或∠BDA＝110°．

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝40°，

①當AD＝AE時，∠ADE＝∠AED＝40°，

∵∠AED＞∠C，

∴此時不符合；

②當DA＝DE時，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，

∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，

∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；

∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；

③當EA＝ED時，∠ADE＝∠DAE＝40°，

∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，

∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；

∴當∠BDA＝110°或80°時，△ADE是等腰三角形．