Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分別是AB、AD的中點，DE、BF相交于點G，連接BD、CG．給出以下結論，其中正確的有（　　）
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ADE=AB2 ．

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD=AB，且∠A=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
又∵E、F分別是AB、AD的中點，
∴DE⊥AB，BF⊥AD，
∴∠GFA=∠GEA=90°，
∴∠BGD=∠FGE=360°﹣∠A﹣∠GFA﹣∠GEA=120°，
∴①正確；
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CDG=∠CBG=90°，
在Rt△CDG和Rt△CBG中，
，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），
∴DG=BG，∠DCG=∠BCG=∠DCB=30°，
∴DG=BG=CG，
∴DG+BG=CG，
∴②正確；
在Rt△BDF中，BD為斜邊，在Rt△CGB中，CG為斜邊，
且BD=BC，在Rt△CGB中，顯然CG＞BC，即CG＞BD，
∴△BDF和△CGB不可能全等，
∴③不正確；
∵△ABD為等邊三角形，
∴S△ABD=AB2 ，
∴S△ADE=S△ABD=AB2 ，
∴④不正確；
綜上可知正確的只有兩個，
故選B．
【考點精析】關于本題考查的菱形的性質，需要了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能得出正確答案．