Question

【題目】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°．

（1）請判斷AB與CD的位置關系，并說明理由；

（2）如圖2，在（1）的結論下，當∠E=90°保持不變，移動直角頂點E，使∠MCE=∠ECD．當直角頂點E點移動時，問∠BAE與∠MCD是否存在確定的數量關系？并說明理由；

（3）如圖3，在（1）的結論下，P為線段AC上一定點，點Q為直線CD上一動點，當點Q在射線CD上運動時（點C除外），∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數量關系？直接寫出結論，其數量關系為 ．

Answer 1

【答案】（1）平行，理由見解析（2）∠BAE＋∠MCD＝90°，理由見解析（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP

【解析】

（1）由角平分線的性質得出∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，推出∠BAC＋∠ACD＝180°，即可得出結論；

（2）過E作EF∥AB，則EF∥AB∥CD，得出∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，由∠AEC＝90°，推出∠BAE＋∠ECD＝90°，∠ECD＝∠MCD，得出∠BAE＋∠MCD＝90°；

（3）由平行線的性質得出∠BAC＋∠ACD＝180°，由三角形內角和定理得出∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，即可得出結果．

（1）AB∥CD；理由如下：

∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，

∵∠EAC＋∠ACE＝90°，

∴∠BAC＋∠ACD＝180°，

∴AB∥CD；

（2）∠BAE＋∠MCD＝90°；理由如下：

過E作EF∥AB，如圖2所示：

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，

∵∠AEC＝90°，

∴∠BAE＋∠ECD＝90°，

∵∠MCE＝∠ECD

∴∠ECD＝∠MCD

∴∠BAE＋∠MCD＝90°；

（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP；理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠BAC＋∠ACD＝180°，

∵∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，

即（∠CPQ＋∠CQP）＋∠ACD＝180°，

∴∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP．