【題目】已知關于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.
(1)求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；
(2)若x1，x2是原方程的兩根，且|x1－x2|＝2
，求m的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）m1＝1，m2＝－3.
【解析】
試題（1）根據關于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判別式△=b2﹣4ac的符號來判定該方程的根的情況；
（2）根據根與系數的關系求得x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1；然后由已知條件“|x1﹣x2|=2
”可以求得（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=8，從而列出關于m的方程，通過解該方程即可求得m的值；最后將m值代入原方程并解方程．
試題解析: （1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=（m+1）2+4，
∵無論m取何值，（m+1）2+4恒大于0，
∴原方程總有兩個不相等的實數根．
（2）∵x1，x2是原方程的兩根，
∴x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1，
∵|x1﹣x2|=2
∴（x1﹣x2）2=（2）2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，
∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0，
解得：m1=﹣3，m2=1．
當m=﹣3時，原方程化為：x2﹣2=0，
解得：x1=，x2=﹣，
當m=1時，原方程化為：x2+4x+2=0，
解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
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【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于
MN長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線AO，交BC于點E．已知CE＝3，BE＝5，則AC的長為（ ）
A.8B.7C.6D.5
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【題目】已知：如圖，線段AB和射線BM交于點B．
（1）利用尺規完成以下作圖，并保留作圖痕跡（不寫作法）
①在射線BM上作一點C，使AC=AB；
②作∠ABM 的角平分線交AC于D點；
③在射線CM上作一點E，使CE=CD，連接DE.
（2）在（1）所作的圖形中，猜想線段BD與DE的數量關系，并證明之．
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【題目】如圖 1，在△ ABC中，∠ACB = 2∠B, ∠BAC的平分線AO交BC于點D,點H為AO上一動點，過點H作直線l⊥ AO于H,分別交直線AB、AC、BC于點N、E、M
（1）當直線l經過點C時(如圖 2)，求證:NH = CH；
（2）當M是BC中點時，寫出CE和CD之間的等量關系，并加以證明;
（3）請直接寫出BN、CE、CD之間的等量關系.
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【題目】某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出
件，每件盈利
元．為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當的降價措施．經調查發現，在一定范圍內，襯衫的單價每下降
元，商場平均每天可多售出
件．
如果商場通過銷售這批襯衫每天獲利
元，那么襯衫的單價應下降多少元？
當每件襯衫的單價下降多少元時，每天通過銷售襯衫獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？
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【題目】已知關于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個相等的實數根，下列判斷正確的是（ ）
A. 1一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根
B. 0一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根
C. 1和﹣1都是關于x的方程x2+bx+a=0的根
D. 1和﹣1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根
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【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，過點O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，過點O作OD⊥BC于D，下列四個結論：
①∠AOB＝90°+
∠C；
②AE+BF＝EF；
③當∠C＝90°時，E，F分別是AC，BC的中點；
④若OD＝a，CE+CF＝2b，則S△CEF＝ab．
其中正確的是（ ）
A.①②B.③④C.①②④D.①③④
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【題目】如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，網格中有一個格點△ABC（即三角形的頂點都在格點上）．
（1）△ABC的面積為__________；
（2）在圖中作出△ABC關于直線MN的對稱圖形△A′B′C′.
（3）利用網格紙，在MN上找一點P，使得PB+PC的距離最短.( 保留痕跡)
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