Question

【題目】如圖，拋物線過點C（4，3），交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側）．

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點M的坐標；

（2）連接OC，CM，求sin∠OCM的值；

（3）若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求使△PBC為直角三角形點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，頂點M的坐標為（2，﹣1）；（2）的值為；（3）點P坐標為P（2，1）或（2，2）或（2，）或（2，）.

【解析】

（1）利用待定系數法先求出拋物線的解析式，再根據頂點式的特點可寫出頂點坐標；

（2）根據點C和點M的坐標，求出的長，可得是直角三角形，再利用正弦的定義即可得；

（3）先可知點P的橫坐標為2，設其坐標為，再根據拋物線的解析式求出點B的坐標，利用兩點距離公式分別求出的長，最后根據為直角三角形，分三種情況，利用勾股定理求解即可.

（1）由拋物線過點，得：

，解得

故拋物線的解析式為，頂點M的坐標為；

（2）如圖，連接OM

由C和M的坐標，利用勾股定理可得：,,,

是直角三角形，且

；

（3）由（1）得拋物線的對稱軸為直線，因此設點P的坐標為

拋物線交x軸于A、B兩點

令得點A和B的坐標為：

由兩點距離公式得：

根據為直角三角形，分以下三種情況：

①當時，則，即

解得：或

故點P的坐標為或

②當時，則，即

解得：

故點P的坐標為

③當時，則，即

解得：

故點P的坐標為

綜上，點P坐標為或或或.