Question

【題目】已知正比例函數與反比例函數.

（1）證明：直線與雙曲線沒有交點；

（2）若將直線向上平移4個單位后與雙曲線恰好有且只有一個交點，求反比例函數的表達式和平移后的直線表達式；

（3）將（2）小題平移后的直線代表的函數記為，根據圖象直接寫出：對于負實數，當取何值時

Answer 1

【答案】（1）方程組無解即沒有公共解，也就是兩函數圖象沒有交點（交點即公共點）；（2）當時， 當時， ；（3）當或時滿足.

【解析】

（1）將和這兩函數看成兩個不定方程，聯立方程組，整理后得方程，再利用根的判別式得出這個方程無解，所以兩函數圖象沒有交點；

（2）向上平移4個單位后，聯立方程組，整理后得方程，因為直線與雙曲線有且只有一個交點，所以方程有且只有一個解，利用根的判別式得出K的值，從而得到函數表達式；

（3）取時，作出函數圖象，觀察圖象可得到結論.

（1）證明：將和這兩函數看成兩個不定方程，聯立方程組得：

兩邊同時乘得，

整理后得

利用計算驗證得：

∵ 所以

方程組無解即沒有公共解，也就是兩函數圖象沒有交點（交點即公共點）

（2）向上平移4個單位后，這時剛好與雙曲線有且只有一個交點.

聯立方程組得：

兩邊同時乘得，整理后得

因為直線與雙曲線有且只有一個交點，

∴方程有且只有一個解，即：，

將方程對應的值代入判別式得：

解得

綜上所述：當時，，

當時， ，

（3）題目要求負實數的值，所以我們取時的函數圖象情況.圖象大致如下圖所示：

計算可得交點坐標，

要使，即函數的圖象在函數圖象的上方即可，

由圖可知，當或時函數的圖象在函數，

圖象的上方，即當或時滿足