Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知⊙O半徑為1，且與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．過點A和點C分別作⊙O的切線MA、NC，它們分別與直線y=x交于點M、N，
（1）寫出點M、D、N的坐標；
（2）拋物線過點M、D、N，它的對稱軸交x軸于點E，連接DE，并延長DE交圓O于F，求cos∠BDF的值與EF的長．
（3）探索：將⊙O作怎樣的平移，才能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上．

Answer 1

分析：（1）根據⊙O半徑為1，得出D點坐標，再利用CO=1，AO=1，點M、N在直線y=x上，即可求出答案；
（2）根據待定系數法求出拋物線的解析式，再利用配方法求出頂點坐標即可，再利用解直角三角形求出cos∠BDF的值；
（3）根據平移后的圓心O在x軸的上方時，可設平移后的圓心O′的坐標為（m，1），得出O′的坐標為（0，1）或（1，1），再利用當平移后的圓心O在x軸的下方時，可設平移后的圓心O″的坐標為（n，-1），得出O″的坐標為（-1，-1）或（2，-1），再利用平移分析即可．

解答：解：（1）∵⊙O半徑為1，
∴D（0，1），
∵過點A和點C分別作⊙O的切線MA、NC，它們分別與直線y=x交于點M、N，
CO=1，AO=1，
∴M（-1，-1）、N（1，1）；

（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
∵點D、M、N在拋物線上．
∴得：

c=1 -1=a-b+c 1=a+b+c

，
解之，得：

a=-1 b=1 c=1

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x+1．
∵y=-x2+x+1=-(x-

1

2

)2+

5

4

，
∴拋物線的對稱軸為x=

1

2

，
∴OE=

1

2

，DE=

1 4 +1

=

5

2

．
連接BF，∠BFD=90°，
∴

DE

DB

=

OD

FD

，
又DE=

5

2

，OD=1，DB=2，
∴FD=

4 5

5

，
∴EF=FD-DE=

4 5

5

-

5

2

=

3 5

10

．
在直角三角形DOE中，cos∠BDF=

DO

DE

=1÷

5

2

=

2 5

5

．

（3）∵⊙O半徑為1，平移后的⊙O要與x軸相切且它的圓心O在拋物線上，
∴平移后的圓心O必在平行于x軸且到x軸的距離為1的直線與拋物線的交點上
當平移后的圓心O在x軸的上方時，可設平移后的圓心O′的坐標為（m，1）．
則-m²+m+1=1，
解得m₁=0，m₂=1，
∴O′的坐標為（0，1）或（1，1）
當平移后的圓心O在x軸的下方時，可設平移后的圓心O″的坐標為（n，-1）．
則-n²+n+1=-1，
解得n₁=-1，n₂=2，
∴O″的坐標為（-1，-1）或（2，-1）
∴①將⊙O沿著y軸的正方向平移1個單位，能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上；
②將⊙O沿著y軸的正方向平移1個單位后，再沿著x軸的正方向平移1個單位（或將⊙O沿著直線y=x的向上方向平移

2

個單位），能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上；
③將⊙O沿著y軸的負方向平移1個單位后，再沿著x軸的負方向平移1個單位，（或將⊙O沿著直線y=x的向下方向平移

2

個單位）能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上；
④將⊙O沿著y軸的負方向平移1個單位后，再沿著x軸的正方向平移2個單位，（或將⊙O沿著直線y=

1

2

x的向下方向平移

2

個單位）能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上；

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，主要利用一次函數的性質以及平移的性質以及二次函數的性質綜合應用，數形結合得出，題目綜合性較強．