Question

圖1，是邊長分別為a和b（a＞b）的兩個等邊三角形紙片ABC和C′DE疊放在一起（C與C′重合）的圖形．
操作與思考：
操作：若將圖1中的△C′DE繞點C按順時針方向任意旋轉一個角度α，連接AD、BE，如圖2或如圖3；
思考：在圖2和圖3中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系，并說明理由．
猜想與發現：根據上面的操作和思考過程，請你猜想：當α為

180

度時，線段AD的長度最大，當α為某個角度時，線段AD的長度最小，最小是

a-b

．

Answer 1

分析：在圖2中，根據△ABC和△C′DE都是等邊三角形得CB=CA，CE=CD，∠BCA=60°，∠ECD=60°，再根據旋轉的性質得∠BCE=∠ACD=α，則可根據“SAS”判斷△BCE≌△ACD，所以有BE=AD；在圖3中用同樣的方法可得到BE=AD；
根據前面的旋轉得到當點D旋轉到CA的反向延長線上時，此時線段AD的長度最大，則此時旋轉的角度為180°；當點D旋轉后重新回到AC邊上時，此時線段AD的長度最小，最小值為AC-CD．

解答：解：在圖2中，BE=AD．理由如下：
在圖1中，∵△ABC和△C′DE都是等邊三角形，
∴CB=CA，CE=CD，∠BCA=60°，∠ECD=60°，
∵△C′DE繞點C按順時針方向任意旋轉一個角度α，
∴∠BCE=∠ACD=α，
在△BCE和△ACD中

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；
在圖3中，BE=AD．理由如下：
∵△C′DE繞點C按順時針方向任意旋轉一個角度α，
∴∠BCE=∠ACD=α，
與前面一樣可證得△BCE≌△ACD（SAS），則BE=AD；
當點D旋轉到CA的反向延長線上時，此時線段AD的長度最大，所以α=180°；
當點D旋轉后重新回到AC邊上時，此時線段AD的長度最小，最小值為AC-CD=a-b．
故答案為180°；a-b．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的性質和三角形全等的判定與性質．