Question

如圖1，是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和CD′E′疊放在一起．
（1）操作：固定△ABC，將△CD′E′繞點C順時針旋轉得到△CDE，連接AD、BE，如圖2．探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系？試說明理由；
（2）操作：固定△ABC，若將△CD′E′繞點C順時針旋轉30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長線交AB于點F，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位長的速度平移，平移后的△CDE設為△PQR，如圖3．探究：在圖3中，除△ABC和△CDE外，還有哪個三角形是等腰三角形？寫出你的結論并說明理由；
（3）探究：如圖4，在（2）的條件下，將△PQR的頂點P移動至F點，求此時QH的長度．

Answer 1

分析：（1）求兩條線段之間的關系，可先證明△BCE≌△ACD，進而得出兩條線之間的關系．
（2）等腰三角形的判定問題，可根據題中角之間的關系進行判斷．
（3）簡單的計算問題，在直角三角形中，利用勾股定理求解即可．

解答：解：（1）BE=AD
證明：由題意可得，BC=AC，CE=CD，
∵∠BCE+∠ACE=60°∠ACE+∠ACD=60°
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．

（2）△HQC為等腰三角形
證明：因為∠FCB=30°，
所以∠ACF=30°，
又因為∠RQP=60°，
所以∠QHC=∠HCQ=30°，
所以△HQC為等腰三角形；

（3）由題意得，AF=2，在Rt△AFG中，FG=

3

，所以GR=3-

3

，
在Rt△GRH中，RH=2（3-

3

），
所以HQ=3-2（3-

3

）=2

3

-3

點評：本題考查了等腰三角形的性質及判定定理軸對稱的性質及平移的性質；進行角的等量代換是正確解答本題的關鍵．