Question

如圖1，是邊長分別為6和4的兩個等邊三角形紙片ABC和CD₁E₁疊放在一起．
（1）操作：固定△ABC，將△CD₁E₁繞點C順時針旋轉得到△CDE，連接AD、BE，如圖2．探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系？并請說明理由；
（2）操作：固定△ABC，若將△CD₁E₁繞點C順時針旋轉30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長線交AB于點F，在線段CF上沿著CF方向平移，（點F與點P重合即停止平移）平移后的△CDE設為△PQR，如圖3．
探究：在圖3中，除三角形ABC和CDE外，還有哪個三角形是等腰三角形？寫出你的結論（不必說明理由）；
（3）探究：如圖3，在（2）的條件下，設CQ=x，用x代數式表示出GH的長．    

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質可得AB=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）求出∠ACF=30°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CHQ=30°，從而得到∠ACF=∠CHQ，判斷出△CHQ是等腰三角形；
（3）求出∠CGP=90°，然后利用∠ACF的余弦表示出CG，再根據等腰三角形的性質表示出CH，然后根據GH=CG-CH整理即可得解．

解答：解：（1）BE=CD．
理由如下：∵△ABC與△CDE是等邊三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°．
∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，
即∠BCE=∠ACD．
在△ACD和△BCE中，

AB=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=CD；

（2）∵旋轉角為30°，
∴∠BCF=30°，
∴∠ACF=60°-30°=30°，
∴∠CHQ=∠RQP-∠ACF=60°-30°=30°，
∴∠ACF=∠CHQ，
∴△CHQ是等腰三角形；

（3）∠CGP=180°-∠ACF-∠RPQ=180°-30°-60°=90°，
∴CG=CP•cos30°=

3

2

（x+4），
∵△CHQ是等腰三角形，
∴CH=2•CQcos30°=2x•

3

2

=

3

x，
∴GH=CG-CH=

3

2

（x+4）-

3

x=2

3

-

3

2

x．

點評：本題是幾何變換綜合題型，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，以及解直角三角形，綜合題，但難度不大，熟記各性質與判定方法是解題的關鍵．