Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y＝﹣x+3交x軸于點B，交y軸于點A，過點A作AC⊥AB交x軸于點C．

（1）如圖1，求直線AC的解析式；

（2）如圖2，點P在AO的延長線上，點Q在AC上，連接PB，PQ，且PQ＝PB，設點P的縱坐標為t，AQ的長為d，求d與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，PQ交x軸于點D，延長PQ交BA的延長線于點E，過點E作EF⊥PE交y軸于點F，若DE＝EF，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）AC的解析式為y＝x+3；（2）d＝﹣t；（3）（﹣1，2）

【解析】

（1）先根據直線求出點A、B的坐標，從而可得OA、OB的長，再根據等腰直角三角形的判定與性質得出OC的長，從而可得點C的坐標，然后利用待定系數法求解即可；

（2）先求出點P的坐標，再根據AQ的長、直線AC的解析式可求出點Q的坐標，然后根據，利用兩點之間的距離公式建立等式求解即可；

（3）如圖（見解析），先求出點Q的坐標，從而得出PN、QN的長，再根據正切三角形函數值、勾股定理得出DP的長和，然后利用待定系數法求出直線PQ的解析式，聯立直線AB的解析式求出點E的坐標，最后利用兩點之間的距離公式求出DE的長，代入求解即可．

（1）∵交x軸于點B，交y軸于點A

令，則，解得

∴

令，則

∴

∵，

∴

∵

∴

∴

設AC的解析式為

將點，代入得，解得

則直線AC的解析式為；

（2）∵點P在AO的延長線上，點P的縱坐標為t

∴，

如圖，過點Q作軸交于點M

∵AQ的長為，

∴

∴

∵

∴

整理得

解得或（舍去）

故d與t之間的函數關系式為；

（3）如圖，過點Q作軸交于點N，則

∵

∴，

∴

∴，即

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

設直線PQ的解析式為

將點代入得，解得

則直線PQ的解析式為

聯立，解得

∴

由兩點之間的距離公式得：

將DE、DP的值代入得：

整理得：

解得或（不符題意，舍去）

．