Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝8，∠CBA＝30°，以AB為直徑作半圓O，半圓O恰好經(jīng)過點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長線于點(diǎn)F．

（1）求證：CE＝CF

（2）填空：①若DF與半圓O相交于點(diǎn)P，則當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，的長為　 　

②在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)EF與半圓O相切時(shí)，EF的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②4．

【解析】

（1）由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱可得CE＝CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE＝CF；

（2）①根據(jù)已知條件得到DE⊥AC，推出DF⊥BC，得到∠FDB＝60°，根據(jù)弧長的公式即可得到結(jié)論；

②連接OC，CD，推出△AOC是等邊三角形，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ACE＝∠B＝30°，得到∠OCD＝30°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CD＝sin60°AC＝2，于是得到結(jié)論．

（1）連接CD，如圖所示，

∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，

∴CE＝CD，

∴∠E＝∠CDE，

∵DF⊥DE，

∴∠EDF＝90°，

∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°，

∴∠F＝∠CDF，

∴CD＝CF，

∴CE＝CD＝CF；

（2）①∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，

∴DE⊥AC，

∵∠ACB＝∠EDF＝90°，

∴DF⊥BC，

∴∠FDB＝60°，

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，的長＝＝，

故答案為：；

②連接OC，CD，

∵∠CBA＝30°，

∴∠AOC＝60°，

∵OC＝OA，

∴△AOC是等邊三角形，

∵EF與半圓O相切，

∴∠ACE＝∠B＝30°，

∴∠ACD＝30°，

∴∠ADC＝90°，

∴∠OCD＝30°，

∴CD＝sin60°AC＝2，

∵CE＝CD＝CF，

∴EF＝2CD＝4．

故答案為：4．