Question

【題目】我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．

（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱____ ___，___ ；（2分）

（2）如圖，已知格點（小正方形的頂點），，，請你直接寫出所有以格點為頂點，為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形的頂點M的坐標。（3分）

（3）如圖，將繞頂點按順時針方向旋轉，得到，連結，．求證：，即四邊形是勾股四邊形．（4分）

Answer 1

【答案】（1）正方形、長方形、直角梯形．（任選兩個均可）（2）M（3，4）或M′（4，3）（3）證明見解析

【解析】（1）解：正方形、長方形、直角梯形．（任選兩個均可）

（2）解：答案如圖所示．M（3，4）或M′（4，3）．

（3）證明：連接EC，

∵△ABC≌△DBE，

∴AC=DE，BC=BE，

∵∠CBE=60°，

∴EC=BC，∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=90°，

∴DC2+EC2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2．

即四邊形ABCD是勾股四邊形．

（1）只要四邊形中有一個角是直角，根據勾股定理就有兩直角邊平方的和等于斜邊的平方，即此四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，由此可知，正方形、長方形、直角梯形都是勾股四邊形．

（2）OM=AB知以格點為頂點的M共兩個：M（3，4）或M（4，3）．

（3）欲證明DC2+BC2=AC2，只需證明∠DCE=90度．