Question

【題目】如圖，點O為線段AD上一點，CO⊥AD于點O，OA=OB，OC=OD，點M、N分別是AC、BD的中點，連接OM、ON、MN.

（1）求證：AC=BD；

（2）試判斷△MON的形狀，并說明理由；

（3）若AC=2，在圖2中，點M在DB的延長線上，求△AMD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）等腰直角三角形（3）

【解析】

（1）根據已知條件可以得出△AOC≌△BOD就可以得出AC=BD，

（2）由直角三角形的性質就可以得出MO=NO=AC=BD，從而得出∠A=∠AOM，∠NBO=∠NOB，又因為△AOC≌△BOD所以∠A=∠OBD，從而得出∠NOB=∠MOA，就可以得出∠NOM=90°，得出△MON的形狀。

（3）根據AC=2得出MO= NO=1，AM=DN=1,根據勾股定理可得MN=，所以DM=+1

由△AOC≌△BOD得出∠C=∠D，由∠C+∠A=90可得∠D+∠A=90，所以∠AMD=90，根據三角形的面積公式即可解答。

證明：∵CO⊥AD

∴=90

在△AOC和△BOD中，

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，

(2) ∵M、N分別是AC、BD的中點，∠AOC=∠BOD=90°，
∴MO=MA=AC，NO=NB=BD，

∵AC=BD，

∴MO=MA= NO=NB
∴∠A=∠AOM，∠NBO=∠NOB，
∵△AOC≌△BOD

∴∠A=∠OBN，

∴∠AOM=∠BON．
∵∠AOM+∠COM=90°，
∴∠BON+∠COM=90°，
∴∠MON=90°．

∴△MON是等腰直角三角形．

（3）∵AC=2

由（2）可得MO= NO=1，AM=DN=1

根據勾股定理可得MN=，

∴DM=+1

∵△AOC≌△BOD

∴∠C=∠D

∵=90

∴∠C+∠A=90

∴∠D+∠A=90 ∴∠AMD=90，

∴MA.DM=+1)=