Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=，E是對角線AC上的動點，以DE為邊作正方形DEFG，H是CD的中點，連接GH，則GH的最小值為____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由∠ADC=∠EDG=90°，推出∠ADE=∠CDG，連接GC，容易證明△DAE≌△DCG，推出AE=CG，當E點位于C點時，G點位于AD的延長線G1處，進而推出G點在CG1這條線段上運動，再由點到直線的距離垂線段最短知，過H向CG1作垂線，得到GH的最小值.

解：連接CG，如下圖所示：

∵∠ADC=∠EDG=90°

∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC

∴∠ADE=∠CDG

在△ADE和△CDG中

，∴△ADE和△CDG(SAS)

∴AE=CG

當E點位于C點時，G點位于G1處

當E但位于A點時，G點位于C處，

故E點在AC上運動時，G點在CG1上運動

故由點到直線的距離垂線段最短可知：

過H點作HG0⊥CG時，此時HG0最小

又H是CD的中點，∴CH=CD=

又∠DCG=45°，

∴HG0=CH=.

故答案為：