Question

【題目】（1）如圖1，將矩形ABCD折疊，使BC落在對角線BD上，折痕為BE，點C落在點C′處，若∠ADB=46°，則∠DBE的度數為　 　°．

（2）小明手中有一張矩形紙片ABCD，AB=4，AD=9．

（畫一畫）

如圖2，點E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設為MN（點M，N分別在邊AD，BC上），利用直尺和圓規畫出折痕MN（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；

（算一算）

如圖3，點F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在射線FD上，折痕為GF，點A，B分別落在點A′，B′處，若AG=，求B′D的長；

（驗一驗）

如圖4，點K在這張矩形紙片的邊AD上，DK=3，將紙片折疊，使AB落在CK所在直線上，折痕為HI，點A，B分別落在點A′，B′處，小明認為B′I所在直線恰好經過點D，他的判斷是否正確，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）23；（2）【畫一畫】畫圖見解析；【算一算】DB′ =3；【驗一驗】小明的判斷不正確，理由見解析.

【解析】

（1）根據矩形性質可得AD∥BC，從而可得∠ADB=∠DBC=46°，再根據翻折的性質即可求得∠DBE的度數；

（2）畫一畫：連接CE并延長交BA的延長線與點G，利用尺規作圖畫出∠BGC的角平分線即可得抓痕MN；

算一算：由已知可得GD=，根據矩形的性質及翻折的性質可得∠DFG=∠DGF，從而可得DF=DG=，在Rt△CDF中，根據勾股定理可求得CF=，根據BF=BC﹣CF求得BF的長，再根據翻折的性質繼而可求得DB′的長即可；

驗一驗：如圖4中，小明的判斷不正確，連接ID，根據勾股定理求出CK長，根據已知可證明△CDK∽△IB′C，從而可得，設CB′=3k，IB′=4k，IC=5k，根據折疊的性質可求得k=1，繼而可得IC=5，IB′=4，B′C=3，在Rt△ICB′中，tan∠B′IC=，連接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC=，從而知tan∠B′IC≠tan∠DIC，判斷出B′I所在的直線不經過點D即可得.

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=46°，

由翻折不變性可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=23°，

故答案為：23；

（2）畫一畫：如圖2中，

算一算：如圖3中，

∵AG=，AD=9，

∴GD=9﹣=，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DGF=∠BFG，

由翻折不變性可知，∠BFG=∠DFG，

∴∠DFG=∠DGF，

∴DF=DG=，

∵CD=AB=4，∠C=90°，

∴在Rt△CDF中，CF==，

∴BF=BC﹣CF=，

由翻折不變性可知，FB=FB′=，

∴DB′=DF﹣FB′=﹣=3；

驗一驗：如圖4中，小明的判斷不正確，

理由：連接ID，在Rt△CDK中，∵DK=3，CD=4，

∴CK==5，

∵AD∥BC，

∴∠DKC=∠ICK，

由折疊可知，∠A′B′I=∠B=90°，

∴∠IB′C=90°=∠D，

∴△CDK∽△IB′C，

∴，即，

設CB′=3k，IB′=4k，IC=5k，

由折疊可知，IB=IB′=4k，

∴BC=BI+IC=4k+5k=9，

∴k=1，

∴IC=5，IB′=4，B′C=3，

在Rt△ICB′中，tan∠B′IC=，

連接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC=，

∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，

∴B′I所在的直線不經過點D．