Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，邊OA的長(zhǎng)度為8，對(duì)角線AC=10，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，與AB交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ=CP，連接PQ，設(shè)CP=m，△CPQ的面積為S．

①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式并求出S最大時(shí)的m值；

②在S最大的情況下，在拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸上，若存在點(diǎn)F，使△DFQ為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=x+x+8 (2)①m=5②F1（，8），F2（，4）， (,6+) ， (,6-)．

【解析】分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出OC長(zhǎng)度，進(jìn)而確定點(diǎn)C坐標(biāo)；將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=x2+bx+c，即可求得拋物線的解析式；
（2）①先用m表示出QE的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出三角形的面積S關(guān)于m的函數(shù)；
②分類討論，寫(xiě)出滿足條件的F點(diǎn)的坐標(biāo)即可，注意不要漏寫(xiě)．

詳解：（1）在矩形OABC中，∠AOC=90°，

由勾股定理可得，OC=，∴C（6，0），

將A（0，8）、C（6，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，得

，

解得， ，

∴拋物線的解析式為；

（2）如圖：①過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn)，則sin∠，

∴，

∴QE=（10﹣m），

∴S=，

∵S=，

∴當(dāng)m=5時(shí)，S取最大值；

②在拋物線對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)F，使△FDQ為直角三角形，

∵拋物線的對(duì)稱軸為x=，

D的坐標(biāo)為（3，8），Q（3，4），

當(dāng)∠FDQ=90°時(shí)，F1（，8），

當(dāng)∠FQD=90°時(shí)，則F2（，4），

當(dāng)∠DFQ=90°時(shí)，設(shè)F（，n），

則FD2+FQ2=DQ2， ，

解得，n=，

∴F3（， ），F4（， ），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè)，坐標(biāo)分別為F1（，8），F2（，4），F(xiàn)3（， ），F(xiàn)4（， ）．