Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，BE平分∠ABC交AC于點F，交AD于點E，且∠DBF=15°，求證：（1）AO=AE; (2)∠FEO的度數.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）根據矩形的得出OB=OA，∠ABC=∠BAD=90°，求出∠EBA=45°，可得AB=AE；求出∠OBA=60°，得出等邊△OBA，推出BA=OA，從而AO=AE；

（2）由△OBA是等邊三角形得∠BAO=60°，從而∠OAE=30°，然后根據等腰三角形的性質可求出∠AEO的度數，進而可求出∠FEO的度數.

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OA，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=45°，

∵∠OBF=15°，

∴∠OBA=60°，

∵OB=OA，

∴△BOA是等邊三角形，

∴∠OAB=60°，BA=OA，

∴∠OEF=∠BEA=180°-∠OAB-∠EBA=180°-45°-60°=75°，

∵∠BAF=90°，∠FBA=45°，

∴∠FBA=45°=∠BFA，

∴BA=AE，

∴AO=AE；

（2）∵∠BAD=90°，∠OAB=60°，

∴∠OAF=90°-60°=30°，

∴∠AEO=×（180°-30°）=75°，

∴∠AOF=∠OEF=75°，

∴∠FEO=75°-45°=30°．