Question

【題目】如圖，直線MN經過正方形ABCD的頂點D且不與正方形的任何一邊相交，AM⊥MN于M，CN⊥MN于N，BR⊥MN于R。

(1)求證：△ADM≌△DCN

(2)求證：MN=AM+CN

(3)試猜想BR與MN的數量關系，并證明你的猜想

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BR=MN；證明見解析.

【解析】

（1）要證△ADM≌△DCN，由于它們都是直角三角形，所以首先有直角相等，又由ABCD是正方形有AD=DC，再找一個條件即可，而由圖形很容易分析得出∠ADM=∠DCN；

（2）由△AMD≌△DNC得到AM=DN，MD=NC，通過等量代換等到結論；

（3）作AE⊥BR于E，根據題意證明△ABE≌△DCN，然后再結合△ADM≌△DCN得到△ABE≌△ADM，細致證明通過等量代換等到結論即可．

證明：（1）∵AM⊥MN于點M，CN⊥MN于點N（已知），

∴∠AMD=∠DNC=90°（垂直的定義）．

∴∠MAD+∠MDA=180°-90°=90°（三角形內角和定理）．

∵四邊形ABCD是正方形（已知），

∴∠ADC=90°，AD=DC．

∴∠MDA+∠NDC=180°-90°=90°（平角的定義）．
∴∠MAD+∠MDA=∠NDC+∠NCD．

∴∠MAD=∠NDC．

在△AMB和△DNC中，

∵∠AMD=∠DNC，∠MAD=∠NDC，AD=DC，

∴△AMD≌△DNC（AAS）．

（2）由（1）△AMD≌△DNC，

∴AM=DN，MD=NC．（全等三角形對應邊相等）

∴MD+DN=AM+CN．

即MN=AM+CN．

（3）猜想BR=MN．

證明如下：

作AE⊥BR于E．

∵BR⊥MN，CN⊥MN（已知）

∴BR∥CN（垂直于同一直線的兩條直線平行）

∴∠1=∠2（兩直線平行同位角相等）

又四邊形ABCD是正方形

∴AB⊥BC，DC⊥BC，

∴∠ABE=∠DCN=90°-∠1，

在△ABE和△DCN中，AB=DC，∠ABE=∠DCN，∠AEB=∠DNC=90°

∴△ABE≌△DCN（AAS）

由（1）△ADM≌△DCN

∴△ABE≌△ADM

∴AM=AE（全等三角形對應邊相等）．

又AE∥MR，AM∥ER，

∴四邊形AERM是平行四邊形

∴BR=BE+ER=CN+AM=DM+DN=MN．