Question

【題目】在等邊△ABC中，點P，Q是BC邊上的兩個動點（不與點B、C重合），且AP＝AQ．

（1）如圖1，已知，∠BAP＝20°，求∠AQB的度數；

（2）點Q關于直線AC的對稱點為M，分別聯結AM、PM；

①當點P分別在點Q左側和右側時，依據題意將圖2、圖3補全（不寫畫法）；

②小明提出這樣的猜想：點P、Q在運動的過程中，始終有PA＝PM．經過小紅驗證，這個猜想是正確的，請你在①的點P、Q的兩種位置關系中選擇一種說明理由．

Answer 1

【答案】（1）80° （2）①答案見解析 ②答案見解析

【解析】

（1）先利用三角形外角定理得到∠APQ的值，再利用等邊對等角轉化即可；

（2）①根據題中所述步驟補全圖形即可；

②選擇點P在點Q的左側，QM交AC于點H，證明 △AQH≌△AMH，再證明AP＝AM，最后證明△APM是等邊三角形即可.

解：（1）∵AP＝AQ，

∴∠APQ＝∠AQP，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∵∠BAP＝20°，

∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝80°；

（2）①如圖2，3所示：

②PA＝PM，

點P在點Q的左側，QM交AC于點H，

∵點Q關于直線AC的對稱點為M，

∴QH＝MH，∠AHQ＝∠AHM，

∵AH＝AH，

∴△AQH≌△AMH（SAS），

∴AQ＝AM，∠QAH＝∠MAH，

∵AP＝AQ，

∴AP＝AM，

∵∠BAP＝∠CAQ，

∴∠QAH＝∠MAH＝∠BAP，

∴∠PAM＝∠PAQ+∠QAH+∠MAH＝∠PAQ+∠QAH+∠BAP＝∠BAC＝60°，

∴△APM是等邊三角形，

∴PA＝PM．