Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ，AD=6，BC=8， ，點M是BC的中點．點P從點M出發沿MB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，到達點B后立刻以原速度沿BM返回；點Q從點M出發以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動．在點P，Q的運動過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側．點P，Q同時出發，當點P返回到點M時停止運動，點Q也隨之停止．設點P，Q運動的時間是t秒(t＞0)．

（1）設PQ的長為y，在點P從點M向點B運動的過程中，寫出y與t之間的函數關系式（不必寫t的取值范圍）．
（2）當BP=1時，求△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積．
（3）隨著時間t的變化，線段AD會有一部分被△EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長度在某個時刻會達到最大值，請回答：該最大值能否持續一個時段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：y=2t
（2）解：當BP=1時，有兩種情形：
①如圖6，若點P從點M向點B運動，有MB= =4，MP=MQ=3，

∴PQ=6．連接EM，
∵△EPQ是等邊三角形，∴EM⊥PQ．∴ ．
∵AB= ，∴點E在AD上．
∴△EPQ與梯形ABCD重疊部分就是△EPQ，其面積為 ．
②若點P從點B向點M運動，由題意得 ．
PQ=BM+MQ BP=8，PC=7．設PE與AD交于點F，QE與AD或AD的
延長線交于點G，過點P作PH⊥AD于點H，則
HP= ，AH=1．在Rt△HPF中，∠HPF=30°，
∴HF=3，PF=6．∴FG=FE=2．又∵FD=2，
∴點G與點D重合，如圖7．

此時△EPQ與梯形ABCD的重疊部分就是梯形FPCG，其面積為
（3）解：能．4≤t≤5
【解析】（1）用t的代數式表示PQ的長，即兩點的路程之和；（2）BP=1可分為兩種情況：P從點M向點B運動；點P從點B向點M運，重疊部分的面積是三角形或梯形；（3）4秒時，P、Q兩點分別到達B、C，此時重疊部分覆蓋AD 的長度最大，隨著P點的返回，PQ長度保持不變，這時EQ與AD的交點G到D的距離為1，因此再過1秒，G與D重合，再向右運動時，PQ長度變短，因此t的范圍為4≤t≤5.