Question

【題目】如圖，已知直線y=ax+b與雙曲線（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點（A與B不重合），直線AB與x軸交于P（x0，0），與y軸交于點C．

（1）若A，B兩點坐標分別為（1，3），（3，y2），求點P的坐標．

（2）若b=y1+1，點P的坐標為（6，0），且AB=BP，求A，B兩點的坐標．

（3）結合（1），（2）中的結果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之間的關系（不要求證明）．

Answer 1

【答案】（1）P點坐標為（4，0）；

（2）A（2，2），B（4，1）；

（3）x1+x2=x0．

【解析】

試題分析：（1）把A點坐標代入反比例函數解析式可求得k，進一步可求得B點坐標，再利用待定系數法可求得直線解析式，可求得P點坐標；

（2）過點A作AD∥x軸，交x軸于點D，利用△ACD∽△PCO，結合A、P、C的坐標可求得x1、y1之間的關系，結合AB=BP可表示出B點坐標，再結合A、B兩點都在反比例函數圖象上，可求得A、B兩點的坐標；

（3）結合（1）、（2）中的坐標可猜得結論．

試題解析：（1）∵點A（1，3）在反比例函數y=上，∴k=3，

∵點B（3，y2）在y=上，

∴y2=1，即B點坐標為（3，1），

把A、B兩點坐標代入直線y=ax+b，

可得，解得，∴直線AB的解析式為y=﹣x+4，

當y=0時，x=4，∴P點坐標為（4，0）；

（2）如圖，過A作AD∥x軸，交y軸于點D，則AD⊥y軸，

∴△ACD∽△PCO，∴=，

∵b=y1+1，P（6，0），A（x1，y1），

∴CD=1，OC=y1+1，AD=x1，OP=6，

∴=，

∵AB=BP，A（x1，y1），

∴B為AP中點，且P為（6，0），∴B點坐標為（，），∵A、B兩點都在y=上，∴x1y1=，解得x1=2，∴=，解得y1=2，∴A（2，2），B（4，1）；

（3）猜想x1，x2，x0之間的關系式為：x1+x2=x0．

理由如下：∵A（x1，y1），B（x2，y2），

∴，解得，

∴直線AB解析式為y=x﹣，

令y=0可得x=，

∵x1y1=x2y2，

∴x===x1+x2，

即x1+x2=x0．