Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB經過點A(，)和B (2，0)，且與y軸交于點D，直線OC與AB交于點C，且點C的橫坐標為．

(1)求直線AB的解析式；

(2)連接OA，試判斷△AOD的形狀；

(3)動點P從點C出發沿線段CO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，運動時間為t秒，同時動點Q從點O出發沿y軸的正半軸以相同的速度運動，當點Q到達點D時，P，Q同時停止運動．設PQ與OA交于點M，當t為何值時，△OPM為等腰三角形？求出所有滿足條件的t值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）△AOD為直角三角形，理由見解析；（3）t＝或．

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b，即可求解；

（2）由點A、O、D的坐標得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，故DO2＝OA2+AD2，即可求解；

（3）點C（，1），∠DBO＝30°，則∠ODA＝60°，則∠DOA＝30°，故點C（，1），則∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，則OP＝2﹣t．①當OP＝OM時，OQ＝QH+OH，即（2﹣t）+（2﹣t）＝t，即可求解；②當MO＝MP時，∠OQP＝90°，故OQ＝OP，即可求解；③當PO＝PM時，故這種情況不存在．

解：（1）將點A、B的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b得： ，

解得：，

故直線AB的表達式為：y＝﹣x+2；

（2）直線AB的表達式為：y＝﹣x+2，則點D（0，2），

由點A、O、D的坐標得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，

故DO2＝OA2+AD2，

故△AOD為直角三角形；

（3）直線AB的表達式為：y＝﹣x+2，故點C（，1），則OC＝2，

則直線AB的傾斜角為30°，即∠DBO＝30°，則∠ODA＝60°，則∠DOA＝30°

故點C（，1），則OC＝2，

則點C是AB的中點，故∠COB＝∠DBO＝30°，則∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，

OQ＝CP＝t，則OP＝OC﹣PC＝2﹣t，

①當OP＝OM時，如圖1，

則∠OMP＝∠MPO＝（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，

過點P作PH⊥y軸于點H，

則OH＝OP＝（2﹣t），

由勾股定理得：PH＝（2﹣t）＝QH，

OQ＝QH+OH＝（2﹣t）+（2﹣t）＝t，

解得：t＝；

②當MO＝MP時，如圖2，

則∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，

∴∠OQP＝90°，

故OQ＝OP，即t＝（2﹣t），

解得：t＝；

③當PO＝PM時，

則∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，

故這種情況不存在；

綜上，t＝或．