Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是邊AB上一點，將△CBE沿直線CE對折，得到△CFE，連接DF．

（1）當D、E、F三點共線時，證明：DE＝CD；

（2）當BE＝1時，求△CDF的面積；

（3）若射線DF交線段AB于點P，求BP的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）4﹣

【解析】

（1）由矩形和折疊的性質可得∠DCE＝∠CEB＝∠FEC，即可證DE＝CD；

（2）延長EF交CD的延長線于點G，由矩形和折疊的性質可證GE＝GC，由勾股定理可求CG＝5，即可求△CDF的面積；

（3）過點C作CH⊥DP于點H，連接CP，由相似三角形的性質可得＝，即當點H與點F重合時，CH最大，DH最小，AP最小，BP最大，由勾股定理可求AP的長，即可求BP的最大值．

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，

∴∠DCE＝∠CEB

∵△CBE翻折得到△CFE

∴∠FEC＝∠CEB

∴∠DCE＝∠FEC

∴DE＝CD

（2）如圖1，延長EF交CD的延長線于點G，

∵四邊形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，

∴∠DCE＝∠CEB

∵△CBE翻折得到△CFE

∴∠FEC＝CEB，CF＝BC＝3，EF＝BE＝1，∠CFE＝90°

∴∠DCE＝∠FEC，∠CFG＝90°

∴CG＝EG，

∴GF＝GE﹣EF＝CG﹣1

∵在Rt△CGF中，CG2＝CF2+GF2，

∴CG2＝9+（CG﹣1）2，

解得：CG＝5

∵△CDF與△CGF分別以CD、CG為底時，高相等

∴

∴S△CDF＝S△CGF＝＝

（3）如圖2，過點C作CH⊥DP于點H，連接CP，

∵CD∥AB

∴∠CDP＝∠APD，且∠A＝∠CHD＝90°

∴△ADP∽△HCD

∴＝，

∵CH≤CF，CF＝BC＝AD＝3

∴CH≤3

∴當點H與點F重合時，

CH最大，DH最小，AP最小，BP最大，

此時，在△ADP與△HCD

∴△ADP≌△HCD（AAS）

∴CD＝DP＝4，AP＝DF

∵AP＝＝

∴BP的最大值為4﹣．