Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于點O，若E，F是AC上兩動點，分別從A，C兩點以相同的速度向C、A運動，其速度為0.5cm/s．

（1）當E與F不重合時，四邊形DEBF是平行四邊形嗎？說明理由；

（2）點 E，F在AC上運動過程中，以D、E、B、F為頂點的四邊形是否可能為矩形？如能，求出此時的運動時間t的值；如不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當E與F不重合時，四邊形DEBF是平行四邊形，理由見解析；（2）當運動時間t=4或28時，以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形，理由見解析.

【解析】

解析:

(1)根據已知的AE＝CF ,推出OE＝OF ,根據平行四邊形的性質得出OD＝OB ,根據平行四邊形的判定推出即可;
(2)根據矩形的性質得出BD＝EF＝12,得出方程16﹣0.5t﹣0.5t＝12,求出即可;當E和F交換位置時得出方程0.5t﹣12＋0.5t＝16,求出即可.

（1）當E與F不重合時，四邊形DEBF是平行四邊形，

理由是：∵E，F是AC上兩動點，分別從A，C兩點以相同的速度向C、A運動，

∴AE＝CF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OD＝OB，OA＝OC，

∴OA﹣AE＝OC﹣CF，

∴OE＝OF，

∴四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）當運動時間t＝4或28時，以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形，

理由是：分為兩種情況：

①∵四邊形DEBF是矩形，

∴BD＝EF＝12 cm，即AE＝CF＝0.5t cm，

則16﹣0.5t﹣0.5t＝12，

解得：t＝4；

②當E到F位置上，F到E位置上時，AE﹣AF＝AC﹣CF，即0.5t﹣12＋0.5t＝16，

t＝28，

即當運動時間t＝4s或28s時，以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形.