Question

【題目】在直角坐標系中，⊙C過原點O，交x軸于點A（2，0），交y軸于點B（0，）．

（1）求圓心C的坐標．

（2）拋物線y=ax2+bx+c過O，A兩點，且頂點在正比例函數y=-的圖象上，求拋物線的解析式．

（3）過圓心C作平行于x軸的直線DE，交⊙C于D，E兩點，試判斷D，E兩點是否在（2）中的拋物線上．

（4）若（2）中的拋物線上存在點P（x0，y0），滿足∠APB為鈍角，求x0的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）圓心C的坐標為（1，）；

（2）拋物線的解析式為y=x2﹣x；

（3）點D、E均在拋物線上；

（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．

【解析】

試題分析：（1）如圖線段AB是圓C的直徑，因為點A、B的坐標已知，根據平行線的性質即可求得點C的坐標；

（2）因為拋物線過點A、O，所以可求得對稱軸，即可求得與直線y=﹣x的交點，即是二次函數的頂點坐標，利用頂點式或者一般式，采用待定系數法即可求得拋物線的解析式；

（3）因為DE∥x軸，且過點C，所以可得D、E的縱坐標為，求得直徑AB的長，可得D、E的橫坐標，代入解析式即可判斷；

（4）因為AB為直徑，所以當拋物線上的點P在⊙C的內部時，滿足∠APB為鈍角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．

試題分析：（1）∵⊙C經過原點O

∴AB為⊙C的直徑

∴C為AB的中點

過點C作CH垂直x軸于點H，則有CH=OB=，OH=OA=1

∴圓心C的坐標為（1，）．

（2）∵拋物線過O、A兩點，

∴拋物線的對稱軸為x=1，

∵拋物線的頂點在直線y=﹣x上，

∴頂點坐標為（1，﹣）．

把這三點的坐標代入拋物線y=ax2+bx+c，得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x．

（3）∵OA=2，OB=2，

∴AB==4，即⊙C的半徑r=2，

∴D（3，），E（﹣1，），

代入y=x2﹣x檢驗，知點D、E均在拋物線上．

（4）∵AB為直徑，

∴當拋物線上的點P在⊙C的內部時，滿足∠APB為鈍角，

∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．